科兴讲堂:两基金分离定理的非数理证明
两基金分离定理是投资学中常见的定理,结论显而易见。通过本篇文章,我们将通过数学论证过程更加直观的感受和理解其内容。
一、什么是两基金分离定理?
在资产组合理论中,在风险资产构成的有效组合边界上,任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合,而有效组合边界上任意其他的点所代表的有效资产组合,都可以由这两个分离的点所代表的投资组合的线性组合生成。
换言之,任何投资于有风险资产的共同基金,如果经营良好,其投资组合一定与两共同基金(经营良好)的某一线性组合等同。只要能找到这样两家不同的经营良好的共同基金,把自己的资金按一定的比例投资于这两家基金,就可以与投资于其他经营水平高的共同基金获得完全一样的效果。
二、分析思路与证明
证明的思路是,通过定义协方差矩阵和各风险资产的权重向量,通过以下两个约束条件:
一是各资产的权重之和为1;
二是各资产按照向量权重的加权收益率之和为投资组合的期望收益率。
关于数学方面的具体论证过程,大家掌握思路即可。具体论证过程并非考研的重点内容,可略去。
下面提供另外一种证明的思路如下:
由马科维茨的投资组合理论可知,过任意两个分离的各自代表有风险资产的点可以生成一条双曲线。所以,有效组合边界上的两个分离的点可以看作两项有风险资产,它们也就可以生成一条双曲线。然而,有效组合边界本身是一条双曲线。
两条曲线不存在没有交点的可能,否则其中一条曲线上的点完全没有落在有效边界上:如果橙色线完全位于蓝线以内,那么对任意给定的风险水平,蓝线上的点总是高于橙线,因此橙色线为完全无效的投资组合,与两基金分离定理的前提矛盾。因此两条曲线必然存在公共点。
首先,显然任意两条不同的双曲线不可能在同一侧有两个分离的切点;
其次,如果这两条双曲线在这两个点是相交的话,则由两个点生成的双曲线一定会有一部分落在有效组合边界所围区域的外面。如下图所示:
根据图形来看,蓝色曲线与橙色曲线有两个交点,记为A和B。其中A点之上与B点以下橙线与蓝线之间的区域落在有效组合边界之外,这与两基金分离定理的前提假定矛盾。由有效组合前沿的定义知这是不可能的,所以这两条双曲线一定重合。
综上,有效组合边界上所有的点所代表的组合,都可以由任意两个分离的点所代表的两个组合生成,两基金分离定理成立。